Порівняння розрахункових прогинів по моделям балок Ейлера-Бернуллі та Тимошенка з експрементально отриманими
DOI:
https://doi.org/10.32347/2522-4182.16.2025.100-109Ключові слова:
масивна деревина (МД), клеєна деревина (КД), перехресно клеєна деревина (ПКД), модуль деформації, модуль деформації зсуву, теорія балки Ейлера-Бернуллі, теорія балки ТимошенкаАнотація
У статті представлено результати експериментально-теоретичного дослідження прогнозування прогинів дерев’яних балок, виготовлених з трьох поширених типів деревини: масивної, клеєної та перехресно-клеєної. Метою роботи стало порівняння адекватності класичної теорії балки Ейлера-Бернуллі та теорії балки Тимошенка у прогнозуванні їхніх прогинів під статичним навантаженням.
Експериментально досліджено прогини шарнірно опертих балок при зосередженому навантаженні посередині прольоту. Для кожного типу деревини визначено експериментальні значення прогинів та механічні характеристики. Теоретично розраховано прогини за теорією балки Ейлера‑Бернуллі та Тимошенка для ідентичних умов.
Порівняльний аналіз показав, що теорія балки Ейлера‑Бернуллі недооцінює прогини, з відносними похибками до 9%…15%, що свідчить про значний вплив деформацій зсуву. Натомість, теорія балки Тимошенка продемонструвала значно кращу збіжність з експериментальними даними, з похибками в межах -2%…+4%.
Для підвищення точності прогнозування за теорією балки Ейлера‑Бернуллі, запропоновано введення усереднених емпіричних коефіцієнтів зсуву, визначених на основі експериментальних результатів. Застосування цих коефіцієнтів дозволило суттєво зменшити розбіжності між теоретичними та експериментальними значеннями прогинів для всіх досліджуваних типів деревини.
Отримані результати підтверджують важливість урахування деформацій зсуву при аналізі балок з матеріалі. Застосування теорії Тимошенка або модифікованої теорії Ейлера‑Бернуллі з емпіричними коефіцієнтами є більш обґрунтованим для точного прогнозування їхньої деформативної поведінки.
Посилання
Mykhailovskyi, D., & Komar, O. (2024). Analiz isnuiuchykh doslidzhen derevyny na udarni ta balistychni navantazhennia [Analysis of existing research on wood under impact and ballistic loads]. Building Constructions. Theory and Practice, (15), 19–28. [in Ukrainian]
https://doi.org/10.32347/2522-4182.15.2024.19-28
Gaur, A., & Dhurvey, P. (2020). Comparative study of beam theories on the effect of span-depth ratio for symmetric and asymmetric loadings. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, (936) (1), 012047.
https://doi.org/10.1088/1757-899X/936/1/012047
Ahmed, A. M., & Rifai, A. M. (2021). Euler-Bernoulli and Timoshenko beam theories analytical and numerical comprehensive revision. European Journal of Engineering and Technology Research, 6(7).
https://dx.doi.org/10.24018/ejers.2021.6.7.2626
Zhu, K., & Chung, J. (2019). Vibration and stability analysis of a simply-supported Rayleigh beam with spinning and axial motions. Applied Mathematical Modeling, 66, 362-382.
https://doi.org/10.1016/j.apm.2018.09.021
Nguyen, A. R. (2017). Comparative spectral analysis of flexible structure models: The Euler-Bernoulli beam model, the Rayleigh beam model, and the Timoshenko beam Model (Master's thesis). University of New Hampshire.
https://scholars.unh.edu/thesis/1160/
Huang, Y., Wu, J. X., Li, X. F., & Yang, L. E. (2013). Higher-order theory for bending and vibration of beams with circular cross section. Journal of Engineering and Mathematics, (80), 91-104.
https://doi.org/10.1007/s10665-013-9620-2
Argyridi, A. K., & Sapountzakis, E. J. (2017). Higher order beam element for the local buckling analysis of beams. 6th International Conference on Computational Methods in Structural Dynamics and Earthquake Engineering.
https://doi.org/10.7712/120117.5407.17453
Sha, X., & Davidson, J. S. (2023). Verification of composite beam theory with finite element model for pretensioned concrete members with prestressing FRP tendons. Materials, (16), 6376.
https://doi.org/10.3390/ma16196376
Lyu, Y.-T., Hung, T.-P., Ay, H.-C., Tsai, H.-A., & Chiang, Y.-C. (2022). Evaluation of laminated composite beam theory accuracy. Materials, (15) (19), 6941.
https://doi.org/10.3390/ma15196941
Rahmani, F., Kamgar, R., & Rohgozar, R. (2020). Finite element analysis of functionally graded beams using different beam theories. Civil Engineering Journal, (6) (11), 2086-2102.
https://dx.doi.org/10.28991/cej-2020-03091604
Bianco, M. J., Könke, C., Habtemariam, A., & Zabel, V. (2018). Exact finite element formulation in generalized beam theory. International Journal of Advanced Structural Engineering, (10), 295-323.
https://doi.org/10.1007/s40091-018-0199-8
Bitiukov, D. O., & Bilyk, S. I. (2025). Determination and analysis of physical and mechanical characteristics of beams made of solid, glued, and cross-laminated timber [in Ukrainian]. Prostorovyj rozvytok, (11), 265-281.
https://doi.org/10.32347/2786-7269.2025.11.265-281
Fernandez Nieto, R. (2023). Comparison of beam theories for cross-sectional deflection parameter analysis of Euler, Timoshenko, and Reddy beam theories (Bachelor's thesis). Eindhoven University of Technology.
Bilyk, A. S., & Ternoviy, M. I. (2024). Numerical research of the coefficients of the dynamic work of steel framing covers reduced to a beam structure under the action of a concentrated impulsive load. Strength of Materials and Theory of Structures, (113), 265-274.
https://doi.org/10.32347/2410-2547.2024.113.265-274
Reddy, J. N., Ruocco, E., Loya, J. A., & Neves, A. M. A. (2021). Theories and analysis of functionally graded beams. Applied Sciences, (11) (15), 7159.
ttps://doi.org/10.3390/app11157159
Taima, M. S., El-Sayed, T. A., Shehab, M. B., Farghaly, S. H., & Hand, R. J. (2022). Vibration analysis of cracked beam based on Reddy beam theory by the finite element method. Journal of Vibration and Control, *29*(19-20), 4589-4606.
https://doi.org/10.1177/10775463221122122
Mykhailovskyi, D., Komar, M., Skliarova, T., & Bondarchuk, B. (2024). Application of glued and cross-laminated timber in reconstruction and new construction [in Ukrainian]. Budivelni konstruktsii. Teoriia i praktyka, (15), 54-65.
https://doi.org/10.32347/2522-4182.15.2024.54-65
Wang, T., Xu, J., Qi, Z., & Zhao, T. (2025). Shear stress correction in Euler-Bernoulli beam theory. Journal of Mechanical Science and Technology, (39) (5), 2627-2637.
https://doi.org/10.1007/s12206-025-0422-z
Fogang, V. (2020). Timoshenko beam theory exact solution for bending, second-order analysis, and stabi-lity [Supplementary Material].
https://doi.org/10.20944/preprints202011.0457.v1
Kim, T., Park, I., & Lee, U. (2017). Forced vibration of a Timoshenko beam subjected to stationary and moving loads using the modal analysis method. Shock and Vibration, *2017*, 3924921.
